chatGPT答: |
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首先,2至8的整数中有4个偶数,它们都不可能与其他整数互质。因此,在随机取2个不同的数时,如果其中一个是偶数,则另一个必须是奇数才有可能互质。
在2至8的整数中,共有3个奇数:3、5、7。因此,在随机取2个不同的数时:
- 如果第一个选出来的是偶数,则第二个只能从3、5、7中选;
- 如果第一个选出来的是奇数,则第二个可以从所有除了这个奇数以外的6个数字中任选一个。
因此,一共有 $4\times 3 + 3\times 6 = 18$ 种取法。其中:
- 第一种情况(第一个为偶数字)共有 $4\times 2=8$ 种;
- 第二种情况(两次都为奇数字)共有 $\binom{3}{2}=3$ 种;
- 第三种情况(两次都为同一奇数字)共有 $3$ 种;
- 剩下就是两次选择不同的奇数字了,也就是 $18 - (8+3+3) = 4$ 种。
对于前三种情况而言,两次选择出来互质的概率都为0;对于最后一种情况而言,则每次选择出来互质概率均为 $\frac{1}{2}$。因此,
$$
\text{所求概率} = \frac{\text{最后一种情况总概率}}{\text{总体积}}=\frac{\frac12 \times \binom{6}{2}}{\binom{7}{2}}=\boxed{\frac35}.
$$
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